원과 직선의 위치 관계와 삼각형 넓이

배경

좌표평면에서 원과 직선이 만날 때 다양한 기하학적 도형이 만들어져요. 특히 원과 직선이 교점을 가질 때 그 교점과 원의 중심을 연결하면 삼각형이 형성돼요. 이 삼각형의 넓이를 구하는 것은 고등학교 기하 문제에서 자주 나오는 유형이에요.

이유

원과 직선의 교점을 구하는 것은 두 도형이 어떤 위치 관계를 갖는지 파악하는 기초예요. 교점의 개수가 0개면 만나지 않는 거고, 1개면 접하는 거고, 2개면 두 점에서 만나는 거죠. 특히 교점이 2개일 때 그 두 교점과 원의 중심으로 만들어지는 삼각형의 넓이는 원의 현과 관련된 여러 성질을 보여줘요.

방법

원과 직선의 교점 구하기

원의 방정식 (x-a)² + (y-b)² = r²와 직선의 방정식 y = mx + n을 연립해서 풀면 교점의 좌표를 얻어요. 원의 중심에서 직선까지의 거리를 d, 원의 반지름을 r이라 할 때:

• d > r이면 교점 없음
• d = r이면 접함 (교점 1개)
• d < r이면 두 점에서 만남

삼각형 넓이 계산

원의 중심을 O, 교점을 A, B라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이를 구해요. OA = OB = r이므로 이등변삼각형이에요. 가장 쉬운 방법은 밑변을 직선 AB(현의 길이)로, 높이를 O에서 직선 AB까지의 거리 d로 설정하는 거예요.

넓이 = (1/2) × 현의 길이 × d

현의 길이는 피타고라스 정리로 구할 수 있어요. O에서 현 AB의 중점까지의 거리가 d일 때, 반현의 길이는 √(r² - d²)이므로 현의 길이 = 2√(r² - d²)가 돼요.

따라서 넓이 = (1/2) × 2√(r² - d²) × d = d√(r² - d²)

주의점

원의 중심에서 직선까지의 거리를 구할 때 공식을 정확히 써야 해요. 직선 ax + by + c = 0과 점 (x₀, y₀) 사이의 거리는 |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)예요.

또한 삼각형의 세 꼭짓점 좌표를 알고 있다면 신발끈 공식(좌표 공식)을 사용해서 직접 넓이를 계산할 수도 있어요. 하지만 현의 길이와 거리 관계를 이용하는 게 더 간단한 경우가 많아요.

예시

원의 방정식이 x² + y² = 5이고 직선이 2x + y = 5라고 해봐요. 원의 중심은 (0,0)이고 반지름은 √5예요.

원의 중심 (0,0)에서 직선 2x + y - 5 = 0까지의 거리는 |0 + 0 - 5| / √(4 + 1) = 5/√5 = √5예요.

거리가 √5이고 반지름이 √5이면 d = r이므로 직선이 원에 접해요. 이 경우 삼각형이 아니라 일직선이 되므로 넓이는 0이에요.

다른 예로 원의 방정식이 x² + y² = 9이고 직선이 y = 1이라면, 중심 (0,0)에서 직선까지의 거리는 1이에요. 반지름이 3이므로 d = 1, r = 3일 때 넓이 = 1 × √(9-1) = 1 × √8 = 2√2예요.