윷놀이에서 '모'가 나오기 어려운 수학적 원인

배경

윷놀이는 한국의 전통 민속놀이로, 정월 초하루부터 보름까지 특히 많이 즐기는 게임이에요. 윷놀이의 결과는 도, 개, 걸, 윷, 모라는 다섯 가지이고, 이기는 쪽에 그 해 풍년이 든다고 믿어져 왔어요. 따라서 윷의 결과는 마을 사람들에게 매우 중요했어요. 놀이를 하다 보면 누구나 한 가지를 느끼게 돼요. 도, 개, 걸은 자주 나오는데, 특히 '모'는 매우 드물게 나타나다는 거예요. 이런 현상이 우연일까요? 아니면 윷의 구조에 숨겨진 수학적 이유가 있을까요?

이유

윷은 한 개당 앞과 뒤가 있는 네 개의 막대로 이루어져 있어요. 단순하게 생각하면 각 면이 나올 확률이 1/2씩이므로, 모가 나올 확률은 1/16(=1/2의 4제곱)이 되어야 해요. 이렇게 계산하면 도, 개, 걸, 윷도 각각 다른 확률이 나와요. 도가 나올 확률은 4/16, 개는 6/16, 걸은 4/16, 윷은 1/16이 돼요. 확률로만 보면 개가 가장 높고, 윷과 모가 가장 낮아야 해요. 하지만 실제 윷의 물리적 특성을 고려하면 이야기가 달라져요. 윷은 완전한 반원 형태가 아니라, 반원을 넘어 아래가 약간 잘려진 불룩한 모양이거든요. 이 때문에 곡면이 나올 확률과 평면이 나올 확률이 다른 거예요.

방법

고려대학교 통계학과 허명회 교수는 1995년 논문에서 윷의 물리적 특성을 고려한 새로운 확률을 계산했어요. 윷짝이 바닥에 닿은 순간 어느 면이 나올지 정해지고, 더 이상 구르거나 튀지 않는다고 가정하고 계산했어요. 윷 단면인 반원의 무게중심을 구하고, 이를 바탕으로 반원의 회전운동을 계산했어요. 또한 윷짝이 완전한 반원이 아니라는 점도 고려했어요. 그 결과 평면이 위로 나올 확률과 곡면이 위로 나올 확률의 비율이 약 6:4라는 것을 밝혀냈어요. 평면이 위로 나올 가능성이 더 크다는 뜻이에요. 이를 바탕으로 다시 계산하면, 걸, 개, 윷, 도, 모의 순서로 확률이 작아진다는 결론이 나와요.

이렇게 물리적 특성을 반영한 계률을 이용하면, 모가 나올 확률이 단순 계산보다 훨씬 작다는 것을 알 수 있어요. 따라서 윷의 구조 때문에 모가 드물게 나타나는 것이 자연스러운 일이에요.

주의점

윷의 확률을 더 정확하게 계산하려면 고려해야 할 사항이 더 있어요. 윷을 던질 때의 초기 속도, 던지는 각도, 바닥면과의 마찰, 충격 등이 확률에 영향을 미쳐요. 또한 윷의 제작 방식에 따라 무게 분포가 다를 수 있고, 바닥의 재질도 결과에 영향을 줄 수 있어요. 따라서 허 교수의 계산도 특정 조건 하에서의 이론적 확률일 뿐, 실제 상황에서는 다양한 변수가 작용할 수 있어요. 하지만 윷의 물리적 특성이 확률에 영향을 준다는 기본 원리는 변하지 않아요.

예시

윷을 던질 때의 회전 운동을 생각해 보세요. 윷은 평평한 면이 위로 나오는 경향이 있어요. 왜냐하면 윷이 완전한 반원이 아니라 약간 잘려있기 때문에, 물리적 균형이 평면 쪽으로 기울어져 있거든요. 도는 네 개 모두 평면이 나오는 경우인데, 이는 평면이 더 잘 나오는 특성 때문에 상대적으로 많이 나타나요. 반대로 모는 네 개 모두 곡면이 나오는 경우인데, 곡면이 나올 확률이 훨씬 낮으니 모당연히 나오기 어려운 거예요. 따라서 윷 몇 개를 던져 본다면, 도가 비교적 자주 나오고 모는 거의 나오지 않을 것을 기대할 수 있어요. 이것이 수학적·물리적으로 설명되는 윷놀이의 확률이에요.